Question

5．在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，AC=$\sqrt{3}$，求AB+BC的最大值并判斷取得最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，從而利用三角函數(shù)恒等變換的應用可求AB+BC=$2\sqrt{3}sin（C+\frac{π}{6}）$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：∵B=$\frac{π}{3}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴在△ABC中，根據(jù)$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，得AB=$\frac{AC}{sinB}$•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$sinC=2sinC，
∴同理BC=2sinA，
∴AB+BC=2sinC+2sinA，…（4分）
=2sinC+2sin（$\frac{2}{3}$π-C）
=$2\sqrt{3}sin（C+\frac{π}{6}）$，…（8分）
當C=$\frac{π}{3}$，可得AB+BC的最大值為$2\sqrt{3}$，…（10分）
取最大值時，因而△ABC是等邊三角形．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題．