Question

6．在底和高等長(zhǎng)度的銳角三角形中有一個(gè)內(nèi)接矩形，矩形的一邊在三角形的底邊上，如圖，在三角形內(nèi)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入矩形內(nèi)的最大概率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，由三角形相似可得y=a-x，由基本不等式可得矩形的最大面積，可得最大概率．

解答 解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，
則由三角形相似可得$\frac{x}{a}$=$\frac{a-y}{a}$，解得y=a-x，
∴矩形的面積S=xy=x（a-x）≤$（\frac{x+a-x}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x即x=$\frac{a}{2}$時(shí)，S取最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴點(diǎn)落入矩形內(nèi)的最大概率為$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}}{\frac{1}{2}×a×a}$=$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型，涉及基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．