Question

已知A，B，C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA），

n

=（1+sinA，cosA-sinA），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求下列函數(shù)：y=2sin²B+cos（

2π

3

-2B）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）先利用

m

⊥

n

得，

m

•

n

=0，再利用數(shù)量積定義得到關(guān)于A的方程，化簡得到cosA=

1

2

，結(jié)合A的范圍確定出A的值；
（2）利用三角變換將y=2sin²B+cos（

2π

3

-2B）化簡成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式，再借助于換元思想求解，注意如何利用A的范圍求出B的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="hs228do" class="MathJye">

m

⊥

n

，
所以（2-2sinA，cosA+sinA）•（1+sinA，cosA-sinA）=0，
即（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0
化簡得2（1-sin²A）=sin²A-cos²A
即2cos²A=1-2cos²A，
cos²A=

1

4

，又因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形
∴cosA=

1

2

∴A=

π

3

．
（Ⅱ）因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，且A=

π

3

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

∴y=2sin²B+cos（

2π

3

-2B）
=1-cos2B-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

3

2

cos2B+1
=

3

sin（2B-

π

3

）+1
又∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴0＜2B-

π

3

＜

2π

3

，
∴0＜sin(2B-

π

3

)≤1
∴y∈(1，1+

3

]

點(diǎn)評：這是一道三角形中的三角函數(shù)化簡求值（或值域）問題，以平面向量的數(shù)量積為載體考查三角變換方法，要注意化歸思想在解題中的應(yīng)用，即最終都化成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式來求解．