Question

設f（x）=log_a（1-

2

x

）（a＞0且a≠1），將y=f（x）的圖象向左平移1個單位得到y=g（x）的圖象，F（x）=

1+ax

1-ax

．
（1）設關于x的方程log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在區(qū)間[2，6]上有實數解，求t的取值范圍；
（2）當a=e（e為自然對數的底數）時，證明：g（2）+g（3）+…+g（n）＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（3）當0＜a≤

1

2

時，試比較|

n

k=1

F（k）-n|與4的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出g（x），log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在[2，6]上有實數解，求出t的表達式，利用導數確定t的范圍；
（2）a=e求出g（2）+g（3）+…+g（n），利用導數推出是增函數，求出最小值，即可證明；
（3）利用放縮法，求出|

n

k=1

F（k）-n|的取值范圍，最后推出小于4即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=log_a（1-

2

x+1

）=log_a

x-1

x+1

，
∴l(xiāng)og_a

t

(x2-1)(7-x)

=log_a

x-1

x+1

，
關于x的方程log_a

t

(x2-1)(7-x)

=g（x）在區(qū)間[2，6]上有實數解
?t=（x-1）²（7-x）區(qū)間[2，6]上有實數解，
令h（x）=（x-1）²（7-x），h′（x）=2（x-1）（7-x）-（x-1）²=（x-1）（15-3x），
令h′（x）=0，則x=1（舍去）或x=5．在x=5處導數左正右負，
故x=5時取極大值，也為最大值32，
當x=2時，取最小值且為5．故t的取值范圍是[5，32]；
（2）g（2）+g（3）+…+g（n）=ln（

1

3

×

2

4

×…×

n-1

n+1

）=-ln

n(n+1)

2

，
令u（z）=-lnz-

1-z2

z

=-2lnz+z-

1

z

，u′（z）=-

2

z

+1+

1

z2

=（1-

1

z

）²≥0，
∴u（z）在（0，+∞）遞增，
∵

n(n+1) 2

＞1，∴u（

n(n+1) 2

）＞u（1）=0，
即有l(wèi)n

2

n(n+1)

＞

1- n(n+1) 2

n(n+1) 2

，
故g（2）+g（3）+…+g（n）＞

2-n-n2

2n(n+1)

．
（3）設a=

1

1+p

，則p≥1，1＜F（1）=

1+a

1-a

=1+

2

p

≤3．
當a=1，|F（1）-1|=

2

p

≤2＜4，
當n≥2時，設k≥2，k∈N*，
F（k）=

(1+p)k+1

(1+p)k-1

=1+

2

(1+p)k-1

=1+

2

C 1 k p +C 2 k p2+… +C k k pk

∴1＜F（k）≤1+

2

C 1 k +C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，
從而u-1≤

n

k=1

F（k）≤n-1+

4

2

-

4

n+1

=n+1-

4

n+1

＜n+1．
∴a＜

n

k=1

F（k）＜F（1）+n+1≤n+4．
綜上總有，當0＜a≤

1

2

時，|

n

k=1

F（k）-n|≤4．

點評：本題考查指數、對數函數、方程、不等式、導數的應用等基礎知識，考查化歸、分類整合等數學思想方法，以及推理論證、分析問題和解決問題的能力．