Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

（x∈R）
（1）當x∈[-

π

12

，

5π

12

]時，求函數(shù)f（x）取得最大值和最小值時x的值；
（2）設銳角△ABC的內角A、B、C的對應邊分別是a，b，c，且a=1，c∈N^*，若向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）平行，求c的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式，利用輔助角公式，化簡給定的函數(shù)，然后，結合三角函數(shù)的圖象與性質進行求解；
（2）根據向量共線的條件，同時結合余弦定理進行求解．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]，
∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴當sin（2x-

π

6

）=1時，即2x-

π

6

=

π

2

，得x=

π

3

，f（x）取得最大值；
當sin（2x-

π

6

）=-

3

2

時，即2x-

π

6

=-

π

3

，得x=-

π

12

，f（x）取得最小值；
（2）∵向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）平行，
所以sinB=2sinA，根據正弦定理的推論，得b=2a，
∴a=1，b=2，
由余弦定理c²=1+4-2×1×2cosC=5-4cos，
∵0＜C＜

π

2

，∴0＜cosC＜1，
∴1＜c²＜5，∴1＜c＜

5

，
∵c∈N^*，∴c=2，經檢驗符合三角形要求，
∴c的值2．

點評：本題重點考查三角公式及其靈活運用，正弦定理的推論，余弦定理及其應用等知識，屬于中檔題．