Question

已知函數(shù)f（x）=（2a+1）e^x+（a²-1）e^-x，a∈R
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a的值；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）在R上是增函數(shù)？若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)單調性的性質,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）直接令f（0）=0，求解a的值；
（2）首先，求導數(shù)，然后，令導數(shù)為非負數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）令f（0）=0，
∴（2a+1）×1+（a²-1）×1=0，
∴a=-2或a=0．
（2）∵f'（x）=（2a+1）e^x-（a²-1）e^-x
令f'（x）≥0，
∴

(2a+1)e2x-(a2-1)

ex

≥0，
∴（2a+1）e^2x-（a²-1）≥0，
當a=-

1

2

時，不符合題意，舍去
所以2a+1≠0，
∴e^2x≥

a2-1

2a+1

，
∵使得f（x）在R上是增函數(shù)，
∴

a2-1

2a+1

≤0，
∴a≤-1或-

1

2

＜a≤1，
∴存在實數(shù)a，使得f（x）在R上是增函數(shù)，實數(shù)a的取值范圍（-∞，-1]∪（-

1

2

，1]；

點評：本題重點考查函數(shù)的奇偶性及其應用，注意奇函數(shù)的有關性質，掌握函數(shù)的單調性與導數(shù)之間的關系，屬于中檔題．