Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，若數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₁₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=2n-1．因此

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁=1，a₅=9，
∴9=1+4d，
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=2n-1．
∴

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和為S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∴S10=

10

21

．
故答案為：

10

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．