Question

14．在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，則△ABC的面積為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求出cosB的值，結(jié)合向量數(shù)量積以及三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵bcosC=3acosB-ccosB，
∴sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
即sinA=3sinAcosB，
則cosB=$\frac{1}{3}$，sinB=${\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}}^{\;}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，
∴|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=2
即$\frac{1}{3}$ac=2，ac=6，
則△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×6×$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形面積的計(jì)算，利用正弦定理以及向量數(shù)量積應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．