Question

10．某校為調(diào)查高中生選修課的選修傾向與性別關(guān)系，隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如表的數(shù)據(jù)表：

	傾向“平面幾何選講”	傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”	傾向“不等式選講”	合計
男生	16	4	6	26
女生	4	8	12	24
合計	20	12	18	50

（Ⅰ）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，選擇可直觀判斷“選課傾向與性別有關(guān)系”的兩種，作為選課傾向的變量的取值，并分析哪兩種選擇傾向與性別有關(guān)系的把握大；
（Ⅱ）在抽取的50名學(xué)生中，按照分層抽樣的方法，從傾向“平面幾何選講”與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的學(xué)生中抽取8人進(jìn)行問卷．若從這8人中任選3人，記傾向“平面幾何選講”的人數(shù)減去與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的人數(shù)的差為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+b）（b+d）}$．

P（k2≤k0）	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+b）（b+d）}$，求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）傾向“平面幾何選講”與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的學(xué)生人數(shù)的比例為20：12=5：3，從中抽取8人進(jìn)行問卷，人數(shù)分別為5，3，由題意，ξ=-3，-1，1，3，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）選傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”與傾向“不等式選講”，k=0，所以這兩種選擇與性別無關(guān)；
選傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”與傾向“平面幾何選講”，K²=$\frac{32（16×8-4×4）^{2}}{20×12×20×12}$≈6.969＞6.635，
∴有99%的把握認(rèn)為選傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”與傾向“平面幾何選講”與性別有關(guān)；
選傾向“平面幾何選講”與傾向“不等式選講”，K²=$\frac{38×（16×12-6×4）^{2}}{20×18×22×16}$≈8.464＞7.879，
∴有99.5%的把握認(rèn)為選傾向“平面幾何選講與傾向“不等式選講”與性別有關(guān)，
綜上所述，選傾向“平面幾何選講與傾向“不等式選講”與性別有關(guān)的把握最大；
（Ⅱ）傾向“平面幾何選講”與傾向“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的學(xué)生人數(shù)的比例為20：12=5：3，從中抽取8人進(jìn)行問卷，人數(shù)分別為5，3，
由題意，ξ=-3，-1，1，3，則
P（ξ=-3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，P（ξ=-1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{30}{56}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$，
ξ的分布列

ξ	-3	-1	1	3
P	$\frac{1}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{10}{56}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=（-3）×$\frac{1}{56}$+（-1）×$\frac{15}{56}$+1×$\frac{30}{56}$+3×$\frac{10}{56}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查獨(dú)立性檢驗、分層抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．