Question

4．給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；
②要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù)y=cos（x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位；
③若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值；
④“a=1”是“函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件；
⑤已知{a_n}為等差數(shù)列，若$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，且它的前n項(xiàng)和S_n有最大值，那么當(dāng)S_n取得最小正值時(shí)，n=20．
⑥滿足條件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有兩個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷①；利用誘導(dǎo)公式化函數(shù)y=sinx為y=cos（x-$\frac{π}{2}$），然后利用左加右減的原則，確定平移的單位與方向判斷②；舉例說明③錯(cuò)誤；利用奇函數(shù)的定義判斷④；要求S_n取得最小正值時(shí)n的值，關(guān)鍵是要找出什么時(shí)候a_n小于或等于0，而a_n+1大于0，由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，得到a₁₁＜0＜a₁₀，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求出當(dāng)S_n取得最小正值時(shí)n的值判斷⑤；由正弦定理求解三角形判斷⑥．

解答 解：①f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，①正確；
②函數(shù)y=sinx化為y=cos（x-$\frac{π}{2}$），要得到此函數(shù)的圖象，
只需將函數(shù)y=cos（x-$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=cos（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，②錯(cuò)誤；
③例如f（x）=x³，f′（x）=3x²，f′（0）=0，f（x）在R上是增函數(shù)，無極值，③錯(cuò)誤；
④當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$，f（-x）=$\frac{1-{e}^{-x}}{1+{e}^{-x}}=\frac{{e}^{x}（1-{e}^{-x}）}{{e}^{x}（1+{e}^{-x}）}=\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}=-f（x）$；
反之，若f（-x）=-f（x），則$\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}=-$$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，整理得，（a²-1）（e^x+e^-x）=0．
∴a²-1=0，即a=±1．即“a=1”是“函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件，④正確；
⑤：∵S_n有最小值，∴d＜0，則a₁₀＞a₁₁，
又$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，∴a₁₁＜0＜a₁₀，a₁₀+a₁₁＜0，
則S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，S₁₉=19a₁₀＞0．
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂，∴S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁．
又∵S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，∴S₁₉為最小正值．⑤錯(cuò)誤；
⑥由正弦定理：$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，∴sinC=$\frac{AB•sinB}{AC}=\frac{1•sin60°}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
∵AB＜AC，∴C＜B=60°，故只有一解C=30°，⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用正弦定理求解三角形，是中檔題．