Question

如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BC、C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面BB₁D₁D；
（2）求D點(diǎn)到平面BEF的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，D₁G，證明四邊形EEGD₁F為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理，證明EF∥平面BB₁D₁D；
（2）設(shè)D點(diǎn)到平面BEF的距離為h，由等體積可得D點(diǎn)到平面BEF的距離．

解答： （1）證明：取BD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，D₁G，
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以EG為三角形BCD的中位線
則EG∥DC，且EG=

1

2

CD，
∵F為C₁D₁的中點(diǎn)，∴D₁F∥CD，且D₁F=

1

2

CD，
∴EG∥D₁C，且EG=D₁F，∴四邊形EGD₁F為平行四邊形，
∴D₁G∥EF，而D₁G?平面BB₁D₁D，EF?平面BB₁D₁D，
∴EF∥平面BB₁D₁D；
（2）解：設(shè)D點(diǎn)到平面BEF的距離為h．
則S_△BEF=

1

2

•2•

20

=2

5

，S_△BDE=

1

2

•2•4=2，
∴由等體積可得

1

3

•2

5

•h=

1

3

•2•2，
∴h=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．