Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+3，求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值g（t）（t∈R），并作出g（t）的圖象，求出g（t）的值域．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，從而以對(duì)稱軸及區(qū)間的位置關(guān)系分類討論從而求出g（t），再作出其圖象，寫(xiě)出值域即可．

解答 解：f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
①當(dāng)t+1＜1，即t＜0時(shí)，
g（t）=f_min（x）=f（t+1）=t²+2，
②當(dāng)t≤1≤t+1，即0≤t≤1時(shí)，
g（t）=f_min（x）=f（1）=2，
③當(dāng)t＞1時(shí)，
g（t）=f_min（x）=f（t）=t²-2t+3，
故g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2，t＜0}\\{2，0≤t≤1}\\{{t}^{2}-2t+3，t＞1}\end{array}\right.$；
作g（t）的圖象如下，

故函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及學(xué)生作圖與應(yīng)用圖象的能力．