Question

3．某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度），設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為50元/平方米，底面的建造成本為100元/平方米．該蓄水池總建造成本為10800π元．（π為圓周率）
（Ⅰ）將V表示為r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．

Answer 1

分析 （I）由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本，結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式，根據(jù)該蓄水池的總建造成本為10800π元，構(gòu)造方程整理后，可將V表示成r的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際中半徑與高為正數(shù)，得到函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中函數(shù)的定義值及解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為100•πrh元，
底面積成本為100πr²元，
∴蓄水池的總建造成本為100•πrh+100πr²元
即100•πrh+100πr²=10800π，
∴h=$\frac{1}{r}$（108-r²）
∴V（r）=πr²h=πr²•$\frac{1}{r}$（108-r²）=π（108r-r³）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜6$\sqrt{3}$
故函數(shù)V（r）的定義域?yàn)椋?，6$\sqrt{3}$）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=π（108r-r³），（0＜r＜6$\sqrt{3}$）
可得V′（r）=π（108-3r²），（0＜r＜6$\sqrt{3}$）
∵令V′（r）=π（108-3r²）=0，則r=6
∴當(dāng)r∈（0，6）時(shí)，V′（r）＞0，函數(shù)V（r）為增函數(shù)
當(dāng)r∈（6，6$\sqrt{3}$）時(shí)，V′（r）＜0，函數(shù)V（r）為減函數(shù)
且當(dāng)r=6，h=12時(shí)該蓄水池的體積最大

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的應(yīng)用，其中（Ⅰ）的關(guān)鍵是根據(jù)已知，求出函數(shù)的解析式及定義域，（Ⅱ）的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)的單調(diào)性及最值點(diǎn)．