Question

已知函數(shù)F（x）=lnx-ax-

a-1

x

+1．
（1）若曲線y=F（x）在點（2，F(xiàn)（2））處的切線垂直于y軸，求實數(shù)a的值；
（2）若0≤a≤

1

2

，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若曲線y=F（x）（x∈[1，2]）上任意兩點（x₁，F(xiàn)（x₁）），（x₂，F(xiàn)（x₂））的連線的斜率恒大于-a-1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意得F′（x）=

1

x

-a+

a-1

x2

，從而F′（2）=

1

2

-a+

a-1

4

=0，得a=

1

3

；
（2）由（1）得F′（x）=

-(x-1)(ax+a-1)

x2

，討論①當0＜a＜

1

2

時②a=

1

2

時的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（3）由

F(x1)-F(x2)

x1-x2

＞-a-1，得F（x₁ ）-F（x₂ ）＞-（a+1）x₁+（a+1）x₂，從而y′=

1

x

+1+

a-1

x2

≥0在x∈[1，2]上恒成立，又-x²-x+1=-(x+

1

2

)2+

5

4

在[1，2]上的最大值為-1，進而a的范圍是[-1，+∞）．

解答： 解：（1）由題意得F′（x）=

1

x

-a+

a-1

x2

，
∴F′（2）=

1

2

-a+

a-1

4

=0⇒a=

1

3

，
（2）由（1）得F′（x）=

-(x-1)(ax+a-1)

x2

，
①當0＜a＜

1

2

時，

1-a

a

=

1

a

-1＞1，
故x∈（0，1）時F′x）＜0，
x∈（1，

1

a

-1）時，F(xiàn)′（x）＞0，
x∈（

1

a

-1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
即F（x）在（0，1）上遞減，在（1，

1

a

-1）上遞增，在（

1

a

-1，+∞）上遞減；
②a=

1

2

時，F(xiàn)′（x）=

-(x-1)2

2x2

≤0，（當且僅當x=1時等號成立），
故F（x）在（0，+∞）上遞減，
綜上：當0＜a＜

1

2

時F（x）在（0，1）上遞減，在（1，

1

a

-1）上遞增，在（

1

a

-1，+∞）上遞減；
a=

1

2

時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上遞減；
（3）由題意

F(x1)-F(x2)

x1-x2

＞-a-1，?x₁≠x₂，x₁，x₂∈[1，2]恒成立，
不妨設x₁＞x₂，則

F(x1)-F(x2)

x1-x2

＞-a-1?F（x₁ ）-F（x₂ ）＞-（a+1）x₁+（a+1）x₂，
即F（x₁ ）+（a+1）x₁＞F（x₂ ）+（a+1）x₂，函數(shù)y=F（x）+（a+1）x在[1，2]上遞增，
∴y′=

1

x

+1+

a-1

x2

≥0在x∈[1，2]上恒成立，
即a≥-x²-x+1在x∈[1，2]上恒成立，
又-x²-x+1=-(x+

1

2

)2+

5

4

在[1，2]上的最大值為-1，
∴a的范圍是[-1，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導數(shù)的應用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．