Question

求證:過(guò)兩異面直線中的一條直線有且僅有一個(gè)平面與另一條直線平行.

Answer 1

答案：
解析：

思路分析:證明“有且僅有”的問(wèn)題,應(yīng)當(dāng)說(shuō)明兩方面的問(wèn)題,即存在性和唯一性,證明存在性時(shí),只要找到一個(gè)即可,證明唯一性則通常利用反證法,即假設(shè)還有另一個(gè)平面也過(guò)一條直線而與另一條直線平行,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,有這兩個(gè)平面的交線與另一條平行,產(chǎn)生與已知相矛盾的結(jié)論,從而肯定原命題的正確性. 已知:a、b為異面直線 求證:過(guò)a有且只有一個(gè)平面a與b平行. 證明:(1)存在性:在a上取一點(diǎn)A,過(guò)A作c∥b, 因?yàn)閍∩c=A,所以a、c可確定平面α, 因?yàn)閎α,且b∥c,所以b∥α, 所以存在α過(guò)a且與b平行. (2)唯一性:假設(shè)另有一個(gè)平面β,也過(guò)a且與b平行,過(guò)b作γ∩β=d, 因?yàn)閎∥β,所以b∥d. 同理過(guò)b作θ∩α=e, 因?yàn)閎∥α,所以b∥e. 所以e∥d,所以e∥β. 所以e∥a,于是b∥a,這與a,b異面矛盾. 所以過(guò)a與b平行的面只有一個(gè).