Question

實(shí)數(shù)x、y滿足x²+y²-2x=0，則x²+y²-12x-8y的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：要求的式子表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（6，4）之間距離的平方減去52．求出|AC|，可得點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（6，4）之間距離最大值為|AC|+1，最小值為|AC|-1，可得要求式子的范圍．

解答： 解：x²+y²-2x=0 即（x-1）²+y² =1，故點(diǎn)（x，y）在以C（1，0）為圓心，半徑等于1的圓上．
而 x²+y²-12x-8y 即（x-6）²+（y-4）²-52，
表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（6，4）之間距離的平方減去52．
由于|AC|=

(6-1)2+(4-0)2

=

41

，
故點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（6，4）之間距離最大值為

41

+1，最小值為

41

-1．
故x²+y²-12x-8y的最大值為(

41

+1)2-52=42+2

41

-52=2

41

-10，
最小值為 (

41

-1)2-52=42-2

41

-52=-2

41

-10，
故x²+y²-12x-8y的取值范圍是[-2

41

-10，2

41

-10]，
故答案為：[-2

41

-10，2

41

-10]．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)間的距離公式，注意要求式子的幾何意義，屬于中檔題．