Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記.（1）（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)于都有

 

Answer 1

(1)；(2)不存在，見解析；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中給的an=5Sn+1，繼而可得an-1=5sn-1+1，兩式子相減得，an-an-1=5an，因此,因而可得出an，bn的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)bn的通項(xiàng)公式，算出的前n項(xiàng)和為Rn，再計(jì)算出是否存在正整數(shù)k;（3）根據(jù)bn的通項(xiàng)公式，計(jì)算出cn的通項(xiàng)公式，再比較Tn與的大小.

（1）當(dāng)時(shí)，,又,

,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴，（2）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（1）知

∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) ,∴

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)

∴

∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有,∴不存在正整數(shù)，使得成立;（3）由得

又， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列的求和