Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，S_n=

3

2

a_n-1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=na_n=2n•3^n-1．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=

3

2

a_n-1（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

3

2

an-1-1，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-1-(

3

2

an-1-1)，化為a_n=3a_n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

3

2

a1-1，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．
∴an=2×3n-1．
（2）b_n=na_n=2n•3^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2（1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1），
3T_n=2（3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ），
∴-2T_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=2×(

3n-1

3-1

-n×3n)=（1-2n）×3ⁿ-1．
∴T_n=

(2n-1)×3n+1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．