Question

17．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E、F分別在邊BC、CD上，$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=μ$\overrightarrow{DC}$．若λ+μ=$\frac{2}{3}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值（　�。�

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{10}{9}$
• D． $\frac{11}{9}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示，最后轉(zhuǎn)化為含有λ，μ的代數(shù)式，再結(jié)合λ+μ=$\frac{2}{3}$及基本不等式求得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值．

解答 解：如圖，
∵$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=μ$\overrightarrow{DC}$，且λ+μ=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$），
=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}）$=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{AB}）$
=$（1+λμ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+λ|\overrightarrow{AD}{|}^{2}+μ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$
=$（1+λμ）×2×2×（-\frac{1}{2}）+4（λ+μ）$=$-2（1+λμ）+\frac{8}{3}$．
由題意可得，λ，μ＞0，
∵λ+μ=$\frac{2}{3}$，
∴λμ$≤（\frac{λ+μ}{2}）^{2}$，則-2（1+λμ）≥$-\frac{20}{9}$，
∴$-2（1+λμ）+\frac{8}{3}≥\frac{4}{9}$（當(dāng)且僅當(dāng)$λ=μ=\frac{1}{3}$時等號成立），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值為$\frac{4}{9}$．
故選：A．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量加法的三角形法則，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．