Question

10．在極坐標(biāo)系中曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ-cosθ=0，點(diǎn)$M（{1，\frac{π}{2}}）$．以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．斜率為-1的直線l過點(diǎn)M，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求兩點(diǎn)A，B之間的距離．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲線C的直角坐標(biāo)方程；根據(jù)直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程即可；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|AB|的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin²θ-cosθ=0得ρ²sin²θ=ρcosθ．
∴y²=x即為曲線C的直角坐標(biāo)方程； 
點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，1），
直線l的斜率是-1，故直線l的方程是：y-1=-x，
即x+y-1=0；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（1）得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，
得x²-3x+1=0，
故x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．