Question

19．已知向量（1，-cosθ）與（sinθ，1）（-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）垂直，向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，n）（n＞1），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ．
（1）求$\overrightarrow$；
（2）若$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$同向，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件和向量垂直的條件求出θ，根據(jù)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ、向量數(shù)量積運(yùn)算求出n的值，即可求出$\overrightarrow$；
（2）由題意設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow$=（-2λ，6λ）且λ＞0，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直的坐標(biāo)條件列出方程，求出λ的值即可求出$\overrightarrow{c}$．

解答 解：（1）∵向量（1，-cosθ）與（sinθ，1）（-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）垂直，
∴sinθ-cosθ=0，則tanθ=1，即θ=$\frac{π}{4}$，
∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，n）（n＞1），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴cosθ=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，則$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{-2+2n}{\sqrt{5}×\sqrt{4+{n}^{2}}}$，
化簡(jiǎn)得，3n²-16n-12=0，
解得n=6或$-\frac{2}{3}$（舍去），
∴$\overrightarrow$=（-2，6）；
（2）∵$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$同向，∴設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow$=（-2λ，6λ）且λ＞0，
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$垂直，∴（1，2）•（-2λ-1，6λ-2）=0，
則-2λ-1+2（6λ-2）=0，解得λ=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{c}$=（-1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直的坐標(biāo)條件，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．