Question

16．已知0＜x＜1，0＜y＜1，xy=$\frac{1}{9}$，求log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y的最大值，并求相應的x，y值．

Answer 1

分析 由已知得$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞0，lo{g}_{\frac{1}{3}}y＞0$，由此利用對數(shù)性質(zhì)和均值定理能求出log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y的最大值及相應的x，y值．

解答 解：∵0＜x＜1，0＜y＜1，xy=$\frac{1}{9}$，
∴$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞0，lo{g}_{\frac{1}{3}}y＞0$，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y≤（$\frac{lo{g}_{\frac{1}{3}}x+lo{g}_{\frac{1}{3}}y}{2}$）²=（$\frac{lo{g}_{\frac{1}{3}}xy}{2}$）²=（$\frac{lo{g}_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{9}}}{2}$）²=（$\frac{2}{2}$）²=1．
∴當log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=log${\;}_{\frac{1}{3}}$y，即x=y=$\frac{1}{3}$時，log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y取最大值1．

點評 本題考查兩個對數(shù)的乘積的最大值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數(shù)性質(zhì)和均值定理的合理運用．