Question

【題目】已知直線：和圓：.

（1）求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn)；

（2）試求當(dāng)為何值時(shí)，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短；

（3）在（2）的前提下，直線是過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線，求圓心在直線上，且與圓相外切的動(dòng)圓中半徑最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

（1）通過(guò)直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)；

（2）當(dāng)直線與垂直時(shí)，所截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)有=-1，由此能出m的值;

（3）由（2）得直線的方程為，可判斷出直線與圓相離，設(shè)動(dòng)圓圓心為，當(dāng)圓心到圓心的距離最小時(shí)，動(dòng)圓的半徑最小，從而得到最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）證明：直線的方程可化為：.

解方程組，得.

所以，直線恒過(guò)定點(diǎn).

（2）解：圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

表示以為圓心，為半徑的圓，

，，

∴在圓內(nèi)，那么對(duì)任意都有直線與圓相交.

當(dāng)直線與垂直時(shí)，所截弦長(zhǎng)最短.

又直線的斜率，∴此時(shí)直線的斜率為.

即，解得.

（3）解：由（2）得直線的斜率為，又∵，

∴直線的方程為，即.

又圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.

設(shè)動(dòng)圓圓心為，當(dāng)圓心到圓心的距離最小時(shí)，動(dòng)圓的半徑最小，

此時(shí)圓心為過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線與的交點(diǎn)，且動(dòng)圓半徑的最小值為.

又過(guò)點(diǎn)與垂直的直線方程為，即.

解方程組，得.

即圓心為.

∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.