Question

15．在△ABC中，已知AB=AC，BC=6，點P在邊BC上，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[$-\frac{9}{4}$，18]．

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$利用投影表示，設(shè)PB=x，將$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$表示為二次函數(shù)的形式，然后求其值域．

解答 解：設(shè)BC的中點為D，
①當(dāng)P在BD上時，即0≤x≤3，設(shè)PB=x，則0＞$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x（x-3）=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$$≥-\frac{9}{4}$；
②當(dāng)P在DC上時，即3＜x≤6，PB=x，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x（x-3），0≤$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤18；
綜上：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[$-\frac{9}{4}$，18]；
故答案為：[$-\frac{9}{4}$，18]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運用；關(guān)鍵是利用投影表示$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，借助于二次函數(shù)的值域求法解答．