Question

10．若方程x²-2ex+m-$\frac{lnx}{x}$=0有解，則m的取值范圍為（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 移項得m=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，利用導數判斷右側函數的單調性，求出其值域即為m的范圍．

解答 解：∵x²-2ex+m-$\frac{lnx}{x}$=0，∴m=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x²，則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}+2e-2x$=$\frac{1-lnx+2{x}^{2}（e-x）}{{x}^{2}}$．
∴當0＜x＜e時，f′（x）＞0，當x＞e時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上單調遞增，在[e，+∞）上單調遞減，
∴當x=e時，f（x）取得最大值f（e）=e²+$\frac{1}{e}$．
∴f（x）的值域為（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]，
∵方程x²-2ex+m-$\frac{lnx}{x}$=0有解，
∴m的取值范圍是（-∞，e²+$\frac{1}{e}$]．
故答案為：$（-∞，{e^2}+\frac{1}{e}]$．

點評 本題考查了導數與函數單調性，函數值域，屬于中檔題．