Question

菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，且AC∩BD=M，現(xiàn)將三角形BD沿著BD折起形成四面體SBCD，如圖所示．
（Ⅰ）當∠SMC為多大時，SM⊥面BCD？并證明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求點D到面SBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）當∠SMC=90°時，利用線面垂直的判定定理證明SM⊥面BCD；
（Ⅱ）設點D到面SBC的距離為d，由等體積法可得：V_S-DBC=V_D-SBC，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）當∠SMC=90°時，SM⊥面BCD．
證明：此時SM⊥CM，且由條件SM⊥BD，
CM，BD為面BCD內兩條相交直線，所以SM⊥面BCD；
（Ⅱ）設點D到面SBC的距離為d，則
在（Ⅰ）的條件下，有SC=2

6

，而SB=BC=4，
所以三角形SBC的面積為2

15

，
由等體積法可得：V_S-DBC=V_D-SBC，
∴

1

3

•2

15

•d=

1

3

•4

3

•2

3

，
∴d=

4 15

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查等體積法，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．