Question

已知函數(shù)f（x）=2

2

sin

π

8

xcos

π

8

x+2

2

cos²

π

8

x-

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期、對(duì)稱中心及取最大值時(shí)的x的取值集合；
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)依次為2，4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求sin∠POQ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期公式求得其最小正周期，根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求得其對(duì)稱中心和取最大值時(shí)，x的集合．
（2）分別求得f（2），f（4），求得P，Q的坐標(biāo)，|OP|，|PQ|，|OQ|可得，利用向量數(shù)量積求得cos∠POQ，則sin∠POQ可求得．

解答： 解：（1）f（x）=2

2

sin

πx

8

cos

πx

8

+

2

（2cos²

π

8

x-1）=

2

sin

π

4

x+

2

cos

π

4

x=2sin（

π

4

x+

π

4

），

所以，函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

π 4

=8．                      
由

π

4

x+

π

4

=kπ（k∈Z）得x=4k-1（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（4k-1，0）（k∈Z）            
由

π

4

x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）得x=4k+1（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的最大值時(shí)的x的取值集合{x|x=4k+1}（k∈z），
（2）∵f（2）=2sin（

π

2

+

π

4

）=2cos

π

4

=

2

，
f（4）=2sin（π+

π

4

）=-2sin

π

4

=-

2

，
∴P（2，

2

），Q（4，-

2

）                                          
∴|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

從而cos∠POQ=

OP • OQ

|OP|•|OQ|

=

2×4+ 2 ×(- 2 )

6 ×3 2

=

3

3

         
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)的性質(zhì)，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．