Question

4．已知（1+2x）ⁿ的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求：
（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）求出展開式的通項(xiàng)，利用第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，建立方程，求出n，即可求出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則：$\left\{{\begin{array}{l}{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k-1}×{2^{k-1}}}\\{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k+1}×{2^{k+1}}}\end{array}}\right.⇒5≤k≤6$，即可求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）展開式的第k+1項(xiàng)為 ${T_{k+1}}=C_n^k{（{2x}）^k}$，
依題意有$C_n^5×{2^5}=C_n^6×{2^6}$，解得n=8，
∴（1+2x）⁶的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為${T_5}=C_8^4{（{2x}）^4}=1120{x^4}$；
（2）設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則：$\left\{{\begin{array}{l}{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k-1}×{2^{k-1}}}\\{C_8^k×{2^k}≥C_8^{k+1}×{2^{k+1}}}\end{array}}\right.⇒5≤k≤6$，又k∈Z₊，
∴k=5或k=6，
展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 ${T_6}=C_8^5{（{2x}）^5}=1792{x^5}$和 ${T_7}=C_8^6{（{2x}）^6}=1792{x^6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查方程思想，正確計(jì)算是關(guān)鍵．