Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-2x²+x+1，求：
（1）求在點(diǎn)（2，3）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，即可得到極值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-2x²+x+1的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=3x²-4x+1，
即有在點(diǎn)（2，3）處的切線斜率為12-8+1=5，
則在點(diǎn)（2，3）處的切線方程為y-3=5（x-2），
即為5x-y-7=0；
（2）由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜$\frac{1}{3}$；
由f′（x）＜0，可得$\frac{1}{3}$＜x＜1．
可得f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，$\frac{1}{3}$），
減區(qū)間為（$\frac{1}{3}$，1）．
即有x=1處取得極小值，且為1，
x=$\frac{1}{3}$處取得極大值，且為$\frac{31}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．