Question

15．設(shè)f（x）、g（x）、h（x）是定義域?yàn)镽的三個(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：
①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）中至少有一個(gè)增函數(shù)；
②若T均是f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）的一個(gè)周期，則T也均是f（x）、g（x）、h（x）的一個(gè)周期，
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）均是奇函數(shù)，
下列上述命題成立的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 舉出反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+3，x≤0\\-x+3，0＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x≤0\\ 2x，x＞0\end{array}\right.$，可判斷①；
根據(jù)函數(shù)的周期性的定義，可判斷②；根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可判斷③．

解答 解：①不成立．可舉反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+3，x≤0\\-x+3，0＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x≤0\\ 2x，x＞0\end{array}\right.$．均不是增函數(shù)，
但f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數(shù)，
故①錯(cuò)誤；
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），
h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前兩式作差可得：g（x）-h（x）=g（x+T）-h（x+T），
結(jié)合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），
同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正確．
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函數(shù)，
f（x）+g（x）+f（x）+h（x）-[g（x）、h（x）]=2f（x）是奇函數(shù)，
即f（x）是奇函數(shù)，
同理g（x）、h（x）均是奇函數(shù)，故③正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性與周期性、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題