Question

7．△ABC中，$BC=4，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=5$，則△ABC的面積的最大值為6．

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角形的面積公式，以及余弦定理消去cosA，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，得bccosA=5      ①，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-\frac{25}{^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{^{2}{c}^{2}-25}$
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=16②，
由①②消掉cosA得b²+c²=26，所以b²+c²≥2bc，bc≤13，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\sqrt{13}$時(shí)取等號(hào)，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{^{2}{c}^{2}-25}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{1{3}^{2}-25}$=6，
故△ABC的面積的最大值為6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、三角形面積公式不等式求最值等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．