Question

16．已知F為拋物線y²=4x的焦點，P（x，y）是該拋物線上的動點，點A是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，當(dāng)$\frac{|PF|}{|PA|}$最小時，點P的坐標(biāo)為（1，±2）．

Answer 1

分析 過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，故當(dāng)PA和拋物線相切時，則$\frac{|PF|}{|PA|}$最小．再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點的坐標(biāo)，從而求得$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值及P的坐標(biāo)．

解答 解：由題意可得，焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1．
過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角．
故當(dāng)∠PAM最小時，則$\frac{|PF|}{|PA|}$最小，
故當(dāng)PA和拋物線相切時，$\frac{|PF|}{|PA|}$最�。�
可設(shè)切點P（a，2$\sqrt{a}$），
則PA的斜率為k=$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$，
而函數(shù)y=2$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=（2$\sqrt{x}$）′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
即為$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（1，2），
則|PM|=2，|PA|=2$\sqrt{2}$，
即有sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由拋物線的對稱性可得P為（1，-2）時，同樣取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：（1，±2）．

點評 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．