Question

1．?x∈（0，$\frac{π}{2}$）都有：f（x）＞0且f（x）＜f′（x）tanx，則下列各式成立的是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）
• C． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 把設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，得到函數(shù)g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，利用單調(diào)性判斷即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）•sinx-f（x）•cosx}{si{n}^{2}x}$，
∵f（x）＜f′（x）tanx，?x∈（0，$\frac{π}{2}$）都有：f（x）＞0，
∴f（x）cosx＜f′（x）sinx，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，
∴g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$，
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
故選：D．

點評 本題綜合考查了導數(shù)的運用，結(jié)合單調(diào)性判斷大小，關鍵是根據(jù)題意得出構(gòu)造的函數(shù)，才能夠利用導數(shù)解決，屬于中檔題．