1.設(shè)A,B為拋物線y2=x上相異兩點,其縱坐標(biāo)分別為-1,2,分別以A,B為切點作拋物線的切線l1,l2,設(shè)l1,l2相交于點P.
(Ⅰ)求點P的坐標(biāo);
(Ⅱ)M為A,B間拋物線段上任意一點,設(shè)$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PA}+μ\overrightarrow{PB}$,試判斷$\sqrt{λ}+\sqrt{μ}$是否為定值,如果為定值,求出該定值,如果不是定值,請說明理由.

分析 (I)求出A,B坐標(biāo),設(shè)切線斜率得出切線方程,聯(lián)立方程組,令判別式△=0得出斜率,從而求出切線方程,再聯(lián)立切線方程解出P點坐標(biāo);
(II)設(shè)M(y02,y0)(-1≤y0≤2),根據(jù)向量的基本定理列方程組解出λ,μ,計算$\sqrt{λ}+\sqrt{μ}$即可.

解答 解:(I)A(1,-1),B(4,2),
設(shè)l1的方程為y+1=k(x-1),即y=kx-k-1,
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-k-1}\end{array}\right.$,消元得:ky2-y-k-1=0,
∴△=1+4k(k+1)=0,解得k=-$\frac{1}{2}$.
∴l(xiāng)1方程為:y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$.
同理可得l2方程為:y=$\frac{1}{4}$x+1.
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}x+1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$.
∴P點坐標(biāo)為(-2,$\frac{1}{2}$).
(II)設(shè)M(y02,y0)(-1≤y0≤2),則$\overrightarrow{PM}$=(y02+2,y0-$\frac{1}{2}$).$\overrightarrow{PA}$=(3,-$\frac{3}{2}$),$\overrightarrow{PB}$=(6,$\frac{3}{2}$).
∵$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PA}+μ\overrightarrow{PB}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{3λ+6μ={{y}_{0}}^{2}+2}\\{-\frac{3}{2}λ+\frac{3}{2}μ={y}_{0}-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$.解得λ=$\frac{({y}_{0}-2)^{2}}{9}$,μ=$\frac{({y}_{0}+1)^{2}}{9}$.
∴$\sqrt{λ}+\sqrt{μ}$=$\frac{2-{y}_{0}}{3}$+$\frac{{y}_{0}+1}{3}$=1.

點評 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,平面向量的基本定理,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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17.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{1}{2}$,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點G在橢圓C上,且$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0,△GF1F2的面積為3.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左右頂點為A,B,過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M,N(不同于點A,B),探索直線AM,BN的交點能否在一條垂直于x軸的定直線上,若能,求出這條定直線的方程;若不能,請說明理由.

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18.已知點M(-2,0),N(2,0),B(-1,0),動圓C與直線MN相切于點B,過M,N與圓C相切的兩直線相交于點P(異于點M,N),則P點的軌跡方程為( 。
A.x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1(x>1)B.x2-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1(x<-1)C.x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1(x<0)D.x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1(x<-1)

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9.設(shè)集合A={y∈R|y=x2},B={x∈R|x2+y2=2},則A∩B=( 。
A.$[{0,\sqrt{2}}]$B.{(-1,1),(1,1)}C.{1}D.[0,1]

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16.已知函數(shù)f(x)=cosx+$\frac{x^2}{2}$-1,g(x)=eax
(Ⅰ)當(dāng)x≥0時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意x≥0,不等式g(x)≥$\frac{x^2}{2}$+x+1≥sinx-cosx+2恒成立;
(Ⅲ)若不等式eax≥sinx-cosx+2對任意的x≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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6.設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=(-1,2),$\overrightarrow$=(m,1),若向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$平行,則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=( 。
A.-$\frac{7}{2}$B.-$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.$\frac{5}{2}$

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13.設(shè)點P在圓x2+(y-6)2=5上,點Q在拋物線x2=4y上,則|PQ|的最小值為$\sqrt{5}$.

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10.已知拋物線C的方程為y2=8x,設(shè)拋物線C的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為-$\sqrt{3}$,那么|$\overrightarrow{PF}$|=( 。
A.2B.4C.6D.8

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11.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左焦點為F(-1,0),且橢圓上的點到點F的距離最小值為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知經(jīng)過點F的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B,且|AB|=$\frac{24}{7}$,求直線l的方程.

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