Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)G在橢圓C上，且$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，△GF₁F₂的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)為A，B，過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N（不同于點(diǎn)A，B），探索直線AM，BN的交點(diǎn)能否在一條垂直于x軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意離心率結(jié)合隱含條件可得a，b，c的關(guān)系，再由$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，可得GF₁⊥GF₂，結(jié)合△GF₁F₂的面積為3及橢圓定義可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，寫出直線l的方程，求得M，N的坐標(biāo)，得到AM，NB的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得交點(diǎn)在一條垂直于x軸的定直線上x=4上；當(dāng)
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到M，N的橫坐標(biāo)的和與積，得到AM，NB的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，代入根與系數(shù)的關(guān)系可得直線AM與直線BN交點(diǎn)在直線x=4上．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$a=2c，b=\sqrt{3}c$，
根據(jù)$\overrightarrow{G{F}_{1}}$•$\overrightarrow{G{F}_{2}}$=0，得$|G{F}_{1}{|}^{2}+|G{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，
∵△GF₁F₂的面積為3，∴|GF₁|•|GF₂|=6，則16c²-12=4c²，
∴$c=1，a=2，b=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（1）知，A（-2，0），B（2，0）．
①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l：x=1與橢圓交于點(diǎn)$M（1，\frac{3}{2}），N（1，-\frac{3}{2}）$．
此時(shí)直線$AM：y=\frac{1}{2}（x+2），NB：y=\frac{3}{2}（x-2）$，
∴它們交于（4，3），它在垂直于x軸的直線x=4上．
②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，
直線AM的方程為$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，即$y=\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}+2}（x+2）$，

直線BN的方程為$y=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}（x+2）$，即y=$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}+2}（x+2）$．
聯(lián)立消去y得：$x=\frac{{2（2{x_1}{x_2}-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=\frac{{2[\frac{{8（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{24{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+4{x_2}]}}{{\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-4+2{x_2}}}=4$．
∴直線AM與直線BN交點(diǎn)在直線x=4上．
綜上知，直線AM與直線BN交點(diǎn)一定在直線x=4上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力和推理論證能力，是中檔題．