Question

已知f（x）=sinx+

3

cosx（x∈R）．求：
（1）若x∈R，求f（x）的值域，并寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈(-

π

2

，

π

3

)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用輔助角公式將函數(shù)f（x）化簡，根據(jù)x∈R，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案；
（2）根據(jù)已知條件，求出x+

π

3

的范圍，令t=x+

π

3

，確定y=sint的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）由題意，f(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∴f（x）的值域?yàn)閇-2，2]，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ-

π

2

，
解得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

5

6

π，2kπ+

1

6

π]，k∈Z；
（2）∵x∈(-

π

2

，

π

3

)，
∴x+

π

3

∈(-

π

6

，

2π

3

)，
令t=x+

π

3

，則y=sint在 (-

π

6

，

π

2

)上遞增，在(

π

2

，

2π

3

)上遞減，
∴f(x)＞sin(-

π

6

)=-

1

2

，fmax(x)=sin

π

2

=1，
∴-1＜f（x）≤2，
故f（x）的值域?yàn)椋?1，2]．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，即運(yùn)用兩角和差公式將函數(shù)化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式研究函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的值域，一般將ωx+φ看作是一個整體，求出它的范圍，運(yùn)用正弦或余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．