【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】試題分析:(I)當(dāng)a=1時,f(x)=ex+x-1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率,再由點(diǎn)斜式即可得切線方程,分別求出切線與x軸、y軸的交點(diǎn)A、B,利用直角三角形的面積公式即可求得;
(II)將f(x)≥x2在(0,1)上恒成立利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為在(0,1)上恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊的函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最大值,即可求出a的取值范圍.
試題解析:
(Ⅰ)∵當(dāng)時, , ,
, ,
∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,
即.
設(shè)切線與軸的交點(diǎn)分別為,
令得, ,令得, ,
∴, ,∴,
∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.
(Ⅱ)由得, .
令,
則 ,
令,則.
∵,∴, 在區(qū)間上為減函數(shù),∴.
又, ,∴,
∴在區(qū)間上為增函數(shù), ,
因此只需即可滿足題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對于任意的都有,當(dāng)時,則且
(1)判斷的奇偶性;
(2)求在上的最大值;
(3)解關(guān)于的不等式.
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【題目】設(shè)x,y∈R,則(3﹣4y﹣cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值為( )
A.4
B.5
C.16
D.25
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,且平面平面.
(1)求證:;
(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使二面角的大小為,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|.
(1)解不等式:f(x+1)+f(x+2)<4;
(2)已知a>2,求證:x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系上,有一點(diǎn)列P0 , P1 , P2 , P3 , …,Pn﹣1 , Pn , 設(shè)點(diǎn)Pk的坐標(biāo)(xk , yk)(k∈N,k≤n),其中xk、yk∈Z,記△xk=xk﹣xk﹣1 , △yk=yk﹣yk﹣1 , 且滿足|△xk||△yk|=2(k∈N* , k≤n);
(1)已知點(diǎn)P0(0,1),點(diǎn)P1滿足△y1>△x1>0,求P1的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)P0(0,1),△xk=1(k∈N* , k≤n),且{yk}(k∈N,k≤n)是遞增數(shù)列,點(diǎn)Pn在直線l:y=3x﹣8上,求n;
(3)若點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(0,0),y2016=100,求x0+x1+x2+…+x2016的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平面 平面, 與分別是棱長為1與2的正三角形, // ,四邊形為直角梯形, // , ,點(diǎn)為的重心, 為中點(diǎn), .
(Ⅰ)當(dāng)時,求證: //平面;
(Ⅱ)若直線與所成角為,試求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓離心率,直線通過點(diǎn),且傾斜角是45°.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),求的面積.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為A,B,C所對邊,a+b=4,(2﹣cosA)tan =sinA.
(1)求邊長c的值;
(2)若E為AB的中點(diǎn),求線段EC的范圍.
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