Question

18．若函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，e]上最小值為$\frac{3}{2}$，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{e}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． 非上述答案

Answer 1

分析 由于f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]，對a分a≤1與1＜a≤e、a＞e三類討論，分別求得f（x）_min，利用f（x）_min=$\frac{3}{2}$即可求得答案．

解答 解：∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵x∈[1，e]，
∴當a≤1時，f′（x）≥0，f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=a=$\frac{3}{2}$與a≤0矛盾，故a≤1不成立，
∴a＞1．
①若1＜a≤e，f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，在區(qū)間[1，a）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，e]上，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴當x=a時，f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，e]上取得極小值f（a），也是最小值，
∴f（x）_min=f（a）=1na+1=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\sqrt{e}$∈[1，e]，滿足題意；
②若a＞e，f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$＜0，f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，解得：a=$\frac{e}{2}$＜e與a＞e矛盾，故a≠$\frac{e}{2}$，
綜上所述，實數(shù)a的值為$\sqrt{e}$．
故選：B．

點評 本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，突出考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值的應用，考查分類討論思想與綜合運算能力，屬于難題．