Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=6，E是PB的動點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PD∥平面ACE，求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解三角形可得AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC．再由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AC，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面PBC，進(jìn)一步得到平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）連接BD交AC于G，連接GE，利用平行線截線段成比例可得E到平面ABCD的距離等于$\frac{2}{3}PC=4$．求出底面直角梯形的面積，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：在Rt△ADC中，由AD=CD=2，可得AC=$2\sqrt{2}$，
過C作CF⊥AB，垂足為F，可得CF=BF=2，則CB=$2\sqrt{2}$，又AB=4，
∴AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC．
又PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，
∵PC∩BC=C，∴AC⊥平面PBC，
∴AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：連接BD交AC于G，連接GE，
∵PD∥平面ACE，∴PD∥EG，
則$\frac{PE}{EB}=\frac{DG}{GB}=\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$，∴E到平面ABCD的距離等于$\frac{2}{3}PC=4$．
∵${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}（2+4）×2=6$，
∴${V}_{E-ABCD}=\frac{1}{3}×6×4=8$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面平行的性質(zhì)，訓(xùn)練了棱錐體積的求法，是中檔題．