Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$
（1）求f（$\frac{π}{8}$）
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)求得φ的值，再根據(jù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，求得ω的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得f（$\frac{π}{8}$）．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，∴φ=$\frac{π}{2}$，
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（2）令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．