Question

19．對(duì)于△ABC，有如下四個(gè)命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則△ABC是銳角三角形；
④若$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的項(xiàng)有④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行判斷．②根據(jù)三角形的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷．③根據(jù)正弦定理去判斷．④根據(jù)正弦定理和三角函數(shù)的公式進(jìn)行判斷．

解答 解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC為等腰或直角三角形，∴①錯(cuò)誤．
②若sinB=cosA，則sinB=cosA＞0．
即A是銳角，sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A），
∴B=$\frac{π}{2}$-A或B+$\frac{π}{2}$-A=π，即A+B=$\frac{π}{2}$或B-A=$\frac{π}{2}$，則△ABC不一定為直角三角形，∴②錯(cuò)誤．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則根據(jù)正弦定理得a²+b²＞c²，∴C為銳角，∴△ABC不一定是銳角三角形，∴③錯(cuò)誤．
④若$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB}{cosB}=\frac{sinC}{cosC}$，即：tanA=tanB=tanC，由于，A+B+C=π，可得：A=B=C，可得△ABC為等邊三角形，
故正確的是④．僅有一個(gè)
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和三角公式的應(yīng)用，要求熟練掌握三角函數(shù)的運(yùn)算公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．