Question

分別以雙曲線的焦點為頂點，以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P的坐標為（0，3），在y軸上是否存在定點M，過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定雙曲線的焦點為（±5，0），頂點為（±4，0），從而可得橢圓的頂點與焦點，進而可求橢圓方程；
（Ⅱ）假設存在M（0，a），過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，AB方程為y=kx+a，代入方程，消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，利用韋達定理結合，即可知M點的坐標存在．
解答：解：（Ⅰ）雙曲線的焦點為（±5，0），頂點為（±4，0），
所以所求橢圓方程為…（5分）
（Ⅱ）假設存在M（0，a），過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，
AB方程為y=kx+a，代入方程，
消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，…（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=，x₁x₂=…（9分）
=x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）-3k（x₁+x₂）-6a+9=（k²+1）x₁x₂+k（a-3）（ x₁+x₂）+a²-6a+9
=（k²+1）+k（a-3）+a²-6a+9
由以AB為直徑的圓恒過點P，可得，得17a²-27a-72=0，
∴（17a+24）（a-3）=0…（12分）
∴a=3，或a=
∵點P的坐標為（0，3），過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點
∴a=
故M點的坐標存在，M的坐標為（0，）…（13分）
點評：本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查恒成立問題的處理，解題要細心．