分別以雙曲線的焦點為頂點,以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設點P的坐標為(0,3),在y軸上是否存在定點M,過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,若存在,求出M的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)確定雙曲線的焦點為(±5,0),頂點為(±4,0),從而可得橢圓的頂點與焦點,進而可求橢圓方程;
(Ⅱ)假設存在M(0,a),過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,AB方程為y=kx+a,代入方程,消去y,得(9+25k2)x2+50akx+25a2-225=0,利用韋達定理結合,即可知M點的坐標存在.
解答:解:(Ⅰ)雙曲線的焦點為(±5,0),頂點為(±4,0),
所以所求橢圓方程為…(5分)
(Ⅱ)假設存在M(0,a),過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,
AB方程為y=kx+a,代入方程
消去y,得(9+25k2)x2+50akx+25a2-225=0,…(7分)
設A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=,x1x2=…(9分)
=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9
=x1x2+(kx1+a)(kx2+a)-3k(x1+x2)-6a+9=(k2+1)x1x2+k(a-3)( x1+x2)+a2-6a+9
=(k2+1)+k(a-3)+a2-6a+9
由以AB為直徑的圓恒過點P,可得,得17a2-27a-72=0,
∴(17a+24)(a-3)=0…(12分)
∴a=3,或a=
∵點P的坐標為(0,3),過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點
∴a=
故M點的坐標存在,M的坐標為(0,)…(13分)
點評:本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質,考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查恒成立問題的處理,解題要細心.
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設點P的坐標為,在y軸上是否存在定點M,過點M且斜率為k的動直線 交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,若存在,求出M的坐標;若不存在,說明理由。

 

 

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分別以雙曲線的焦點為頂點,以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設點P的坐標為(0,3),在y軸上是否存在定點M,過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,若存在,求出M的坐標;若不存在,說明理由.

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