Question

7．已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，設O為外接球球心，三棱柱的高為h，表示出三棱柱的體積為$V=\frac{{3\sqrt{3}}}{16}（-{h^3}+4h）$，0＜h＜2．利用導數(shù)求解三棱柱的體積最大時，三棱柱的高．

解答 解：如圖所示，設O為外接球球心，三棱柱的高為h，則由題意可知，A'O=B'O=C'O=1，$OE'=\frac{h}{2}$，$A'E'=\sqrt{1-\frac{h^2}{4}}$，$A'B'=\sqrt{3-\frac{{3{h^2}}}{4}}$，
此時三棱柱的體積為$V=\frac{{3\sqrt{3}}}{16}（-{h^3}+4h）$，其中0＜h＜2．

令y=-h³+4h（0＜h＜2），則y′=-3h²+4，令y′=0，
則$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，當$0＜h＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時，y′＞0，函數(shù)y增，
當$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜h＜2$時，y′＜0，函數(shù)y減．
故當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，導數(shù)的應用，考查轉化思想以及計算能力空間想象能力．