Question

19．（1）設(shè)x＞-1，求函數(shù)y=x+$\frac{4}{x+1}$+6的最小值；
（2）求函數(shù)y=$\frac{x^2+8}{x-1}$（x＞1）的最值．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)的表達(dá)式為：a+$\frac{1}{a}$類型，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可．
（2）轉(zhuǎn)化函數(shù)的構(gòu)造函數(shù)的表達(dá)式為：a+$\frac{1}{a}$類型，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵x＞-1，∴x+1＞0．
∴y=x+$\frac{4}{x+1}$+6=x+1+$\frac{4}{x+1}$+5≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}$+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{4}{x+1}$，即x=1時，取等號．
∴x=1時，函數(shù)的最小值是9．
（2）y=$\frac{x^2+8}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-1+9}{x-1}$=（x+1）+$\frac{9}{x-1}$=（x-1）+$\frac{9}{x-1}$+2．
∵x＞1，∴x-1＞0．
∴（x-1）+$\frac{9}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=8．
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{9}{x-1}$，即x=4時等號成立，

點評 本題考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，注意基本不等式成立的條件，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．