Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

3

，

1

2

），離心率e=

3

2

（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）若直線y=kx+2與橢圓有兩個交點，求出k的取值范圍；
（Ⅲ）經(jīng)過橢圓左頂點A的直線交橢圓丁另一點B，線段AB的垂直平分線上的一P滿足

PA

•

PB

=4，若P點在y軸上，求出P點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

3

，

1

2

），離心率e=

3

2

，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程：
（Ⅱ）若直線y=kx+2與橢圓有兩個交點，則直線y=kx+2代入橢圓方程，利用△＞0，求出k的取值范圍；
（Ⅲ）分類討論，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合B在橢圓上，

PA

•

PB

=4，即可求出P點的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

3

，

1

2

），離心率e=

3

2

∴

a2-b2 a2 = 3 4 3 a2 + 1 4b2 =1

，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）直線y=kx+2代入橢圓方程，可得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
∵直線y=kx+2與橢圓有兩個交點，
∴△=（16k）²-48（4k²+1）＞0，
∴k＜-

3

2

或k＞

3

2

；
（Ⅲ）設(shè)P（0，y₀）
①AB⊥y軸，A（-2，0），B（2，0），則

PA

=（-2，-y₀），

PB

=（2，-y₀）
∴

PA

•

PB

=-4+y₀²=4，
∴y₀=±2

2

；
②AB與y軸不垂直時，設(shè)B（x₁，y₁）（y₁≠0），AB的中點（

x1-2

2

，

y1

2

），則
線段AB的垂直平分線方程為y-

y1

2

=-

x1+2

y1

（x-

x1-2

2

）
令x=0，則y₀=

x12-4+y12

2y1

=-

3

2

y1，
∴

PA

=（-2，

3

2

y₀），

PB

=（x₁，

5

2

y₁）
∴

PA

•

PB

=-2x₁+

15

4

y₁²=-2x₁+

15

4

•

4-x12

4

=4，
∴x₁=-

2

15

或x₁=-2（舍去），
∴y₁²=

4-x12

4

=

224

225

，
∴y₁=±

4 14

15

，
∴y₀=±

2 14

5

，
綜上，P點的坐標(biāo)為（0，±2

2

），（0，±

2 14

5

）．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計算能力，有難度．