已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（
3
，
1
2
），離心率e=
3
2

（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）若直線y=kx+2與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求出k的取值范圍；
（Ⅲ）經(jīng)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A的直線交橢圓丁另一點(diǎn)B，線段AB的垂直平分線上的一P滿足
PA
•
PB
=4，若P點(diǎn)在y軸上，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（
3
，
1
2
），離心率e=
3
2
，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程：
（Ⅱ）若直線y=kx+2與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線y=kx+2代入橢圓方程，利用△＞0，求出k的取值范圍；
（Ⅲ）分類討論，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合B在橢圓上，
PA
•
PB
=4，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（
3
，
1
2
），離心率e=
3
2

∴
a2-b2
a2
=
3
4
3
a2
+
1
4b2
=1
，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）直線y=kx+2代入橢圓方程，可得（4k2+1）x2+16kx+12=0，
∵直線y=kx+2與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（16k）2-48（4k2+1）＞0，
∴k＜-
3
2
或k＞
3
2
；
（Ⅲ）設(shè)P（0，y0）
①AB⊥y軸，A（-2，0），B（2，0），則
PA
=（-2，-y0），
PB
=（2，-y0）
∴
PA
•
PB
=-4+y02=4，
∴y0=±2
2
；
②AB與y軸不垂直時(shí)，設(shè)B（x1，y1）（y1≠0），AB的中點(diǎn)（
x1-2
2
，
y1
2
），則
線段AB的垂直平分線方程為y-
y1
2
=-
x1+2
y1
（x-
x1-2
2
）
令x=0，則y0=
x12-4+y12
2y1
=-
3
2
y1，
∴
PA
=（-2，
3
2
y0），
PB
=（x1，
5
2
y1）
∴
PA
•
PB
=-2x1+
15
4
y12=-2x1+
15
4
•
4-x12
4
=4，
∴x1=-
2
15
或x1=-2（舍去），
∴y12=
4-x12
4
=
224
225
，
∴y1=±
4
14
15
，
∴y0=±
2
14
5
，
綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±2
2
），（0，±
2
14
5
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，有難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為y′|x=x0，即（　�。�
A、f′（x0）=f（x0+△x）-f（x0）
B、f′（x0）=
lim
△x→0
[f（x0+△x）-f（x0）]
C、f′（x0）=
f(x0+△x)-f(x0)
△x
D、f′（x0）=
lim
△x→0
 
f(x0+△x)-f(x0)
△x

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

命題“所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是（　�。�
A、所有不能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)
B、所有能被3整除的整數(shù)都不是奇數(shù)
C、存在一個(gè)不能被3整除的整數(shù)是奇數(shù)
D、存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=sinx+sin（x+
π
6
）-cos（x+
4π
3
），x∈[0，2π]．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）若銳角△ABC中，f（A）=
2
，a=2，b=
6
，求角C及邊c．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線D：y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F1重合，且點(diǎn)P（
2
，
6
2
）在橢圓Q上．
（1）求橢圓Q的方程及其離心率；
（2）若傾斜角為45°的直線l過(guò)橢圓Q的左焦點(diǎn)F2，且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF1的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x，y，z∈R+，x+y+z=3．
（1）求
1
x
+
1
y
+
1
z
的最小值
（2）證明：3≤x2+y2+z2＜9．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線L1：y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F任作直線L與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，由點(diǎn)A，B分別向（x-1）2+y2=
1
4
各引一條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，記α=∠AFP，β=∠BFQ，求證：cosα+cosβ為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

“a=1”是“直線ax-y+2a=0與直線（2a-1）x+ay+a=0互相垂直”的
 
條件（在“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”、“既不充分又不必要”中選一個(gè)合適的填空）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案