Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體；在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t，使得．

（1）判斷是否屬于集合M，并說明理由；

（2）若屬于集合M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)b，都有．

Answer 1

【答案】（1）不屬于,理由詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用f（x）＝3x+2，通過f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程無(wú)解，說明f（x）＝3x+2不屬于集合M；

（2）由屬于集合M，推出有實(shí)解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有實(shí)解，對(duì)參數(shù)分類討論，利用判斷式求解即可；

（3）當(dāng)f（x）＝2x+bx2時(shí)，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，則g（x）在R上的圖象是連續(xù)的，當(dāng)b≥0時(shí)，當(dāng)b＜0時(shí)，判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，證明對(duì)任意實(shí)數(shù)b，都有f（x）∈M．

解：（1）當(dāng)時(shí)，方程

此方程無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)t，使得，

故不屬于集合M﹒

（2）由，屬于集合M，可得

方程有實(shí)解

有實(shí)解有實(shí)解，

若時(shí)，上述方程有實(shí)解；

若時(shí)，有，解得，

故所求a的取值范圍是．

（3）當(dāng)時(shí)，方程

，

令，則在上的圖像是連續(xù)的，

當(dāng)時(shí)，，，故在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，，故在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

故對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，在上都有零點(diǎn)，即方程總有解，

所以對(duì)任意實(shí)數(shù)b，都有．