Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow$=（-5，5），$\overrightarrow{c}$=（2，k）
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）若$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{c}$，求k的值；
（3）若$\overrightarrow$⊥（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式即可求出，
（2）根據(jù)向量的平行的條件得到-5k=5×2，解得即可，
（3）根據(jù)向量的垂直的條件得到-5×5+5k=0，解得即可．

解答 解：（1）設(shè)向量向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
∵$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow$=（-5，5），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3×（-5）+0×5=-15，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{0}^{2}}$=3，|$\overrightarrow$|=5$\sqrt{2}$
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-15}{3×5\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{3}{4}π$
（2）∵$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{c}$，
∴-5k=5×2，
∴k=-2
（3）∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（5，k），
又$\overrightarrow$⊥（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），
∴$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）=0，
∴-5×5+5k=0，
∴k=5

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的夾角公式和向量的垂直和平行的條件，屬于基礎(chǔ)題．