Question

19．已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+|x-a|（a∈R）．
（1）若 a=1，求不等式 f（x）≥5的解集；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為3，求實(shí)數(shù) a的值．

Answer 1

分析 （1）把f（x）寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得不等式 f（x）≥5的解集，綜合可得結(jié)論．
（2）分當(dāng)a=-1時(shí)、當(dāng)a＞-1時(shí)、當(dāng)a＜-1時(shí)三種情況，分別求得a的值，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng) a=1，$f（x）=2|{x+1}|+|{x-1}|=\left\{\begin{array}{l}3x+1，x≥1\\ x+3，-1＜x＜1\\-3x-1，x≤-1\end{array}\right.$，當(dāng)x≥1時(shí)，3x+1≥5，即$x≥\frac{4}{3}$，∴$x≥\frac{4}{3}$；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，x+3≥5，即x≥2，此時(shí)x無實(shí)數(shù)解；
當(dāng)x≤-1時(shí)，-3x-1≥5，即x≤-2，∴x≤-2．
綜上所述，不等式的解集為{x|x≤-2，或 $\left.{x≥\frac{4}{3}}\right\}$．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=3|x+1|最小值為 0，不符合題意，
當(dāng)a＞-1時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x+2-a，x≥a\\ x+2+a，-1＜x＜a\\-3x-2+a，x≤-1\end{array}\right.$，∴f（x）_min=f（-1）=1+a=3，此時(shí)a=2； 
當(dāng)a＜-1時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x+2-a，x≥-1\\-x-2-a，a＜x＜-1\\-3x-2+a，x≤a\end{array}\right.$，f（x）_min=f（-1）=-1-a=3，此時(shí)a=-4．
綜上所示，a=2或a=-4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．