Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$ax²+x+1．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，證明：xe^x≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值即可；
（2）令F（x）=xe^x-f（x）=xe^x-lnx-x-1（x＞0），則$F'（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{1}{x}-1=\frac{x+1}{x}•（{x{e^x}-1}）$；再令G（x）=xe^x-1，利用G（x）的單調(diào)性來(lái)判斷F（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）由題意得$x∈（{0，+∞}），f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2{x^2}+x+1}}{x}$，
當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，0＜x＜1，f（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，x＞1，f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
所以x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)
（2）證明：令F（x）=xe^x-f（x）=xe^x-lnx-x-1（x＞0），
則$F'（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{1}{x}-1=\frac{x+1}{x}•（{x{e^x}-1}）$，
令G（x）=xe^x-1，則因?yàn)镚'（x）=（x+1）e^x＞0（x＞0），
所以函數(shù)G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，G（x）在（0，+∞）上最多有一個(gè)零點(diǎn)，
又因?yàn)镚（0）=-1＜0，G（1）=e-1＞0，所以存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，
且當(dāng)x∈（0，c）時(shí)，G（x）＜0；當(dāng)x∈（c，+∞）時(shí)，G（x）＞0，
即當(dāng)x∈（0，c）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；當(dāng)x∈（c，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（0）＞0，
所以F（x）在（0，c）上單調(diào)遞減，在（c，+∞）上單調(diào)遞增，從而F（x）≥F（c）=c•e^c-lnc-c-1，
由G（c）=0得c•e^x-1=0即c•e^c=1，兩邊取對(duì)數(shù)得：lnc+c=0，
所以F（c）=0，F(xiàn)（x）≥F（c）=0，從而證得xe^x≥f（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及構(gòu)造新函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，屬中等題．