Question

14．已知數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+1+5S_n-1=6（S_n-b_n-1），n≥2，n∈N^*，且b₁=1，b₂=5，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=b_n•$\frac{1}{{n}^{2}（{3}^{n}-{2}^{n}）}$，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{b_n+1-3b_n}是等比數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通過對S_n+1+5S_n-1=6（S_n-b_n-1）變形可知b_n+1-3b_n=2（b_n-3b_n-1），進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n+1-3b_n=2ⁿ，變形可得b_n+1+2ⁿ⁺¹=3（b_n+2ⁿ），進(jìn)而可知數(shù)列{b_n+2ⁿ}是首項、公比均為3的等比數(shù)列，利用a_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），并項相加即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵S_n+1+5S_n-1=6（S_n-b_n-1），n≥2，n∈N^*，
∴S_n+1-S_n=5S_n-5S_n-1-6b_n-1，
即b_n+1=5b_n-6b_n-1，
∴b_n+1-3b_n=2（b_n-3b_n-1），
又∵b₁=1，b₂=5，
∴b₂-3b₁=5-3=2，
∴數(shù)列{b_n+1-3b_n}是以首項、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知b_n+1-3b_n=2ⁿ，
∴b_n+1+2ⁿ⁺¹=3（b_n+2ⁿ），
又∵b₁+2¹=1+2=3，
∴數(shù)列{b_n+2ⁿ}是首項、公比均為3的等比數(shù)列，
∴b_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=b_n•$\frac{1}{{n}^{2}（{3}^{n}-{2}^{n}）}$=（3ⁿ-2ⁿ）•$\frac{1}{{n}^{2}（{3}^{n}-{2}^{n}）}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴a_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），
∴T_n＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$
＜2．

點評 本題考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．